說出來也為羞愧的,因為我自中四第一次見到此假說,過了超過十年竟然想不出如何用嚴僅的推理來證明,而它也是超級複雜的東西,它只有兩條演算規律:
A. 如果是單數則加1,
B. 如果是雙數則除2;
要證明的是任何一個正整數,在經過有限的步驟後最終一定會陷入1-2-1的死迴圈;
我想來想去的結論都是: 如何證明任何一個正整數都可以用2的升冪來表示呢?
即任何數=n(1)*2^0+n(2)*2^1+n(3)*2^2+.....n(k)*2^(k-1)
只要能證明此前設,其實即2進制可以成立的基礎,則不難證明任何一個單數:
A. 一定是先經A步再行B步,得出比本身少的數值,如25,26,13,14,7,8,4,2,1,因此這是遞減數列,數值只會愈來愈細,不會愈來愈大,因為數值本身是有限,所以最終一定在經過有限的步驟後最終一定會陷入1-2-1的死迴圈;
如果是任何一個雙數,同理會形成遞減數列,數值只會愈來愈細,不會愈來愈大,再分兩類:
A. 2的完整乘冪,如2的7次方128,則會直降到1,最終一定會陷入1-2-1的死迴圈,步驟數為2的完整次方數;
B. 2的不完整乘冪,如2的7次方加6次方192,則會經歷一有限次數的B步而成為單數,在此例中則是經歷6次B步後成為3,因為是單數,所以可以應用上面單數的證明來解決。
算不算證明完畢?
其實有更有趣的事,我想問的是到底在十進制可以有幾多條如此的假說,是不是有限數?而每一個假說又有什麼特色?
例如用三條演算規律:
A. 如果用3除剩1時是加2,
B. 如果用3除剩2時是加1,
C. 如果用3可整除時是除3,
要證明的是任何一個正整數,在經過有限的步驟後最終一定會陷入3-1-3的死迴圈;
單是加不夠好玩,不如改成:
例如用三條演算規律:
A. 如果用3除剩1時是減2,
B. 如果用3除剩2時是加1,
C. 如果用3可整除時是除3,
要證明的是任何一個正整數,在經過有限的步驟後最終一定會陷入3-1-3的死迴圈;
留意到什麼沒有?
理論上,我可以隨便作一條出來:
A. 如果用5除剩1時是減2,
B. 如果用5除剩2時是加1,
C. 如果用5可剩3時是減3,
D. 如果用5除剩4時是加1,
E. 如果用5可整除時是除3,
要證明的是任何一個正整數,在經過有限的步驟後最終一定會陷入5-1的死迴圈。
(未完待續....)
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