如何去解n次方的可分解不等式

我記得在中二時,數學老師叫我們依書本提供的方法去解2/3次方的不等式絕對是一件苦差,先嘗試把2/3次方的不等式因式分解成2/3個不等式的因子,然後再逐個個去試去解,一條數最快也要10分鐘才解完,做完數學功課,電視的兒童節目也做完了。於是我當時就想出了一個可大量節省時間的方法,看箸別人埋頭苦幹時自己可自由發夢,別有快感,不知現在愈來愈貴的教科書有沒有比以前進步,編者想到我想到的方法?(鄭重聲明,未經我同意教科書不可以拿來作謀利用途!)

這個方法其實用了邏緝作輔助,所以提高了效率。流程是這樣的,首先自然是把n次方的不等式化成n個因子,然後把所有不等式除以x的乘積,如三條不等式分別是:(2x-3)(3x-5)(4x-8)>0,則我們可分別列出(x-3/2)(x-5/3)(x-2)>0,再把所有因子用x的0次方的項數由小至大加以排列,即(x-3/2)(x-5/3)(x-2)>0,考慮到在任何自然數集下此關係一定為真(x-3/2)>(x-5 /3)>(x-2),現在再去思考一下,如果要三個因式的乘積為正,因為3是單數,所以一是3者同為正值,另外唯一可能性是首項為正,後兩項為負。在前一種情況,只要數值永遠為最少的一項即第三項為正值,其餘不可能變成負值,所以只要(x-2)>0或x>2則為此不等式的其中一解;在後一種情況,即首項為正值,後兩項為負值,首項為正即(x-3/2)>0或x>3/2及x-5/3<0或x<5/3(第三項可以不理),所以第二解為3/2換句話說,答案為3/22。

同理,要是我們要解(2x-3)(3x-5)(4x-8)<0,即(x-3/2)(x-5/3)(x-2)<0,我們已知在任何自然數集下此關係一定為真(x-3/2)>(x-5/3)>(x-2),再因為3是單數,要3個數的乘積為負數,只有兩個可能,一是三項因式同為負值,二是因式數值最細者為負,其餘因式為正。所以,要三項因式同為負值,只要首項為負值即可,所以即(x-3/2)<0或x<3/2;另外,要第三項為負及第二項為正,即(x-2)<0或x<2及(x-5/3)>0或x>5/3,所以解為2>x>5/3。
換句話說,答案為x<3/2及2>x>5/3。

用了此一方法去幫助,一條n次方的不等式,最多是考慮n+1次而不像傳統教科書要考慮2^n次,然後再用負數的單次次方一定為負數,負數的雙次次方一定為正數,正數的單雙數次次方一定為正數,尚可再減低要考慮的次數,例如要解一條7次方大於零的不等式,我們只要考慮分別是尾兩項、四項及六項為負的情況即可以。如此才算是教科書的增值,不是會叫會唱的容祖兒頭像在唱1+1=2!